静止しているときの点Oからの恒星の位置をP、移動中のときの見掛けの位置を P1, P2, …, P′,Pnとする。
Pの高度を η[°], Pnの高度を ε[°], 移動速度をV, 光速度をCとする。

光波が速度CでP-O間を移動しているが、θ の角度差があるように見える。
経路P-Oの基準座標に、
相対速度効果としての見掛けの経路Pn-Oの座標を重ねた共通座標から、V, θ の関係式を求める。
経路Pn-Oにおいて、光波がP1からOに向けて速度Cで出発したとすると、
OP1＝r1＝C�儺1,　OO′＝V�儺1,　AO′＝L1,
AP1＝r1−V�儺1cosε,　ε＝π−θ1−(π−η1)＝η1−θ1,　tanθ1＝L1/AP1

L1＝(C�儺1−V�儺1cosε)×tanθ1　　　　　　 �@
L1＝V�儺1×sinε　　　　　　　　　　　　　　�A
�@, �Aより、Vsinε＝(C−Vcosε)×tanθ1　　 �B

�Bの両辺にcosθ1をかけると、Vsinε×cosθ1＝(C−Vcosε)×sinθ1
Vsinε×cosθ1＋Vcosε×sinθ1＝Csinθ1　　加法定理により、 Vsin(ε＋θ1)＝Csinθ1 。
∴ sinθ1＝(V/C)×sin(ε＋θ1)＝(V/C)×sinη1
同様に、 sinθ2＝(V/C)×sinη2,　…,　sinθ′＝(V/C)×sinη′。

恒星の見掛けの位置がPnにあるように見えるとすると、
P-O間とPn-O間の通過時間は同じなので、経路Pn-Oの見掛けの速度＝C±�儼 。
経路Pn-O座標の時間を相対時間とし、経路Pn-O上の速度をCとすると、
共通座標における距離と角度の関係から、 sinθn＝(V/C)×sinηn 。

∴ sinθ＝(V/C)×sinη


上図のとき、見掛けの合成速度(V_Pn-O, 相対速度)がCより速くなっている。
相対時間は、C/V_Pn-O 倍となる。 [ 接近時間は、Vの経路Pn-O方向成分に関する時間換算分が短くなる。]
( 速度や時間が歪むわけではなく、見掛けの現象としての数値となる。)
( 恒星の見掛けの位置Pnや高度εは、点Oの座標以外では虚世界のものであり、
　相対速度,相対時間は、点Oの座標上では実世界のもの。)


∠P＝π−θ−ε＝π−θ−(η−θ)＝π−η,　Pn-O＝X,　P-O＝r＝C�儺,　Pn-P＝V�儺
X^2＝r^2＋(V�儺)^2−2rV�儺cos(π−η)＝(C�儺)^2＋(V�儺)^2＋2CV�儺^2cosη
　 ＝�儺^2(C^2＋V^2＋2CVcosη)　　　X＝�儺√[C^2＋V^2＋2CVcosη]
∴ V_Pn-O＝√[C^2＋V^2＋2CVcosη]

( 経路Pn-Oのように見えるが、実際は経路P-O上を速度Cで光波が到達している。)



年周光行差 (太陽)
V＝地球の公転速度＝29.78×10^3　 C＝2.99792458×10^8　黄緯＝β[°] 　太陽のβ≒0
[赤道上，太陽の赤緯＝0，正中時]のときの天体の高度 η＝90−β 　∴ sinθ＝(V/C)×cosβ
年周光行差 θ≒20.49[″]　　( sinθ≒V/C )
( 北半球では太陽の正中時＝南中時 )


年周光行差の発見　ジェームズ・ブラッドレー(1728年)　James Bradley(1693−1762)　第３代グリニッジ天文台長
自宅の天頂セクターで恒星の楕円運動から発見、ほかに1747年に章動( 周期18.6年　定数9.2025″)を発見。


( 雨垂の中を移動するときに見える雨の動きは、移動と逆向きの速度と雨の落下速度とのベクトル合成によるもの。)


[ 2009年5月, 12月, 2011年1月 ]


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